Teoria dos Jogos

(Algumas soluções)

Maxmin = Minmax = 6. Jogo tem Ponto de Sela (em estratégias puras).

Solução: Jogador 1 – Estratégia 2; Jogador 2 – Estratégia 1 ou Estratégia 3; Valor do Jogo para o jogador 1=6 (ganho do Jogador 1 = Perda do jogador 2). Valor do Jogo para o jogador 2= -6 (ganhos) ou 6 em perdas.

Maxmin = 30 diferente de Minmax = 36. Jogo não tem Ponto de Sela.

Solução: Jogador 1 – Estratégia 1 com Prob= 5/6 e Estratégia 2 com Prob= 1/6, ou

Jogador 1 – (5/6; 1/6); Jogador 2 – (1/2; 1/2). Valor do Jogo para o jogador 1 = 35 (-35 para o jogador 2)

Maxmin = 400 e Minmax = 500. Não há Ponto de Sela (em Estratégias Puras).

Empresa1 - (3/4; 1/4); Empresa 2 – (1/2; 1/2).Valor do Jogo para Empresa 1 = 450; valor do Jogo para a Empresa 2 = 550

Jogo não tem Ponto de Sela. Estratégia do Jogador 1 = (2/3; 1/3); Estratégia do Jogador 2 = (1/2; 1/2). Valor do Jogo = 0 para ambos os jogadores.

O jogo tem ponto de Sela. Cadeia 1 – Estratégia 2; Cadeia 2 – Estratégia 1. Valor do Jogo para Cadeia 1 = 45 M espectadores; valor do jogo para Cadeia 2 = 55 M espectadores

Estratégias não dominadas; 3 e 4 para o jogador 1. Matriz:

1/2	0
0	1

Jogador 1 = (2/3; 1/3); Jogador 2 = (2/3; 1/3); valor do Jogo para jogador 1 = 1/3

a) Jogo de duas pessoas, de soma nula, finito, de informação perfeita, estático e não cooperativo; b) Num ficheiro à parte; c) Basta construir uma nova matriz em que, para a empresa A, se soma 50 a cada elemento da matriz. A nova matriz é a matriz de quotas de mercado da empresa A. Se ao valor 100 for subtraído cada elemento da matriz anterior (de quotas de A), obtém-se a matriz de quotas de mercado da empresa B.

Num Ficheiro à parte.

a) Jogo finito, estático, de informação perfeita, de duas pessoas de soma não constante. É um Dilema do Prisioneiro (DP);

b)

Prisioneiro B
Confessa	Não confessa
Prisioneiro	Confessa	(-5; -5)	(0; -10)
A	Não confessa	(-10; 0)	(-2; -2)

c) Confessar, pois é o ponto de equilíbrio (de Nash)

10.	Rússia
Desenv.	Não Desenv.
USA	Desenv.	(-100; -100)	(100; -1000)
Não Desenv.	(-1000; 100)	(0; 0)

Ponto de equilíbrio: (-100; -100). Foi chamada estratégia de corrida aos armamentos e o Equilíbrio de Terror.

11.

Empresa II
A	B	AB
A	(50; 50)	(48; 42)	(38; 62)
Empresa I	B	(42; 48)	(49; 49)	(34; 64)
AB	(62; 38)	(64; 34)	(54; 54)

Ponto de Equilíbrio: (AB; AB) – cada empresa constrói uma fábrica em A e em B.

12. Jogo estático, infinito, de duas pessoas e soma não constante (e não cooperativo), de informação completa ou perfeita.

Apresentação na forma normal:

Conjunto de Jogadores: {Empresa 1; Empresa 2}

Conjuntos de Estratégias:

Função Ganhos (payoff):

= quantidade a produzir pela empresa

Ponto de Equilíbrio (Nash):

Preço de equilíbrio = 400

Lucro Empresa 1 = Lucro Empresa 2 = 112 500

10; 8 13. a)	Tec.A

6; 6	Tec.A Emp.II Tec. B

6; 6 Emp.I Tec.B Tec.A

Emp.II 8; 10 Tec.B

Jogo sequencial, finito, de duas pessoas de soma não constante. Sendo I o primeiro a escolher, (A;A) é ponto de equilíbrio (melhor solução).

Nota1. Se I escolhesse B, II escolheria B;

Nota2. Se II fosse o primeiro a escolher, (B,B) seria ponto de equilíbrio

b) Se as escolhas forem simultâneas, trata-se de um jogo estático, finito, de informação completa, de duas pessoas de soma não constante. Neste caso há dois pontos de equilíbrio: (A,A) e (B,B). Quem decidir primeiro ganha vantagem.

14. a) Verifica-se que se a escolha fosse simultânea, o ponto (200; 200), correspondente a uma fábrica pequena para cada empresa, seria um ponto de equilíbrio de Nash, mas não é um equilíbrio dominante;

b) Se a empresa 1 escolher não investir, a empresa 2 investe numa fábrica pequena, obtendo um VAL de 400. Se a empresa 1 investir numa fábrica pequena, a empresa 2 investe também numa fábrica pequena, e ambas obtêm um VAL de 200. Se a empresa 1 investir numa fábrica grande, a empresa 2 não investe, obtendo a empresa 1 um VAL de 312,5 e impede a concorrência. Sob o ponto de vista económico individual, a empresa 1, sendo a primeira a escolher, escolhe a fábrica grande, ganha 312,5, mas “impede” a empresa 2 de entrar, supondo um comportamento racional.

15. Dois pontos de equilíbrio não cooperativo em estratégias puras: (F; F)=(10; 5) e (C; C)=

(5; 10). Em estratégias mistas, o ponto de equílbrio é (2/3; 1/3) para o João e (1/3; 2/3) para a Maria. A utilidade esperada é 10/3 para cada um.

16. O jogo não tem ponto de equilíbrio de Nash em estratégias puras. As estratégias mistas são (3/5; 2/5) para o jogador I e (1/3; 2/3) para o jogador II. Ganho esperado do jogador I: 0; ganho esperado do Jogador II: 1,6

17. a) V({0}) = V({1}) = V({2}) = V({3}) = V({2; 3}) = 0; V({1; 2}) = V({1; 3}) = V({1; 2; 3}) = 1 milhão

b) ;

c) W({0}) = W({1}) = W({2}) = W({3}) = W({2; 3}) = 0; W({1; 2}) = W({1; 3}) = W({1; 2; 3}) = 1

d) Núcleo do Jogo: (;; 0; 0)

e) Valor de Shapley: : (;

f) Nuclélo do Jogo: (; ; 0; 0)

18. a)

. Das restrições anteriores resulta que é incompatível com . Logo as restrições são incompatíveis, isto é, o núcleo é vazio: .

b)

Verifica-se facilmente que o conjunto das soluções que satisfaz este sistema é não vazio desde que . Por exemplo, a solução com = 3,3(3), é uma solução do sistema e corresponde ao menor valor para . É fácil de verificar que para valores de superiores ou iguais a 3,3(3), o sistema é possível e para valores inferiores é impossível. Verifica-se que para = 3,3(3) existe solução alternativa. Por exemplo, a solução com = 3,3(3) é igualmente uma solução do sistema e, por isso, faz parte do Núcleo mínimo. Uma análise mais detalhada permite verificar que o núcleo mínimo tem infinitos pontos, dados por {(

c)

. Este sistema tem como única solução (25; 25; 25; 25)

19. a) V({0}) = V({2}) = V({3}) = V({2, 3}) = 0; V({1}) = 100 000; V({1, 2}) = 200 000; V({1, 3}) = V({1, 2, 3}) = 300 000

b)	b1) ($100 000, $100 000, $100 000) – Imputação;

b2) ($50 000, $200 000, $50 000) – Não Imputação, racionalidade individual é violada

b3) ($120 000, $190 000, -$10 000) - Não Imputação, racionalidade individual é violada

b4) ($110 000, $110 000, $110 000) - Não Imputação, racionalidade de grupo é violada

c)	Núcleo do Jogo: {(;

d)	Neste caso o núcleo é não vazio

e)	Valor de Shapley: (1 300 000/6; 100 000/6; 400 000/6)

f) S V({S}) (200; 0; 100) (260; 0; 40) (250; 0; 50) (200; 0; 100) (260; 0; 40) (250; 0; 50)

{1} 100 -100 -160 -150 0 0 0

{2} 0 0 0 0 0 0 0

{3} 0	-100 -40 -50 0 -40 -50

{1,2} 200 0 -60 -50 -100 -40 -50

{1,3} 300 0 0 0 -100 -60 -50

{2,3} 0 -100 -40 -50 -100 -160 -150

A solução (250; 0; 50) é lexigraficamente menor do que as outras duas, corresponde à minimização da reclamação máxima (minimax) (valores em milhares).

g) Nucléolo: (250; 0; 50)

20. a) Piper Séneca: ; DC10: ; Boing 707: ++ 250= 308,33

b) Piper Séneca: 50; DC10: 50; Boing 707: 300

c)	Cada Piper Séneca paga 2 222,2(2)€; cada DC-10 paga 4 222,2 (2)€; cada Boeinga paga 29 222,2 (2) €.

21. a) Autarquia 1: 4; Autarquia 2: 7; Autarquia 3: 3; Autarquia 4: 8.

b) A solução (4; 7; 3; 8) correspondente também ao Nucléolo, é lexicograficamente a maior, como se esperava, e em que a satisfação mínima (o excesso) é máxima. Desvios:

S V({S}) (4; 7; 3; 8)	(5, 6; 4; 7) Ordenação Lex. (4; 7; 3; 8) (5, 6; 4; 7)

{1} 5 1 0 0 0

{2} 8 1 2 0 0

{3} 4 1 0 1 0

{4} 9 1 2 1 0

{1; 2} 13 2 2 1 2

{1; 3} 7 0 2 1 2

{1; 4} 14 2 2 1 2

{2; 3} 12 2 2 1 2

{2; 4} 15 0 2 1 2

{3; 4} 13 2 2 1 2

{1; 2; 3} 15 1 0 2 2

{1; 2; 4} 20 1 2 2 2

{1; 3; 4} 16 1 0 2 2

{2; 3; 4} 19 1 2 2 2

Verifica-se que de acordo com o critério maxmin (4; 7; 3; 8) é preferível a (5, 6; 4; 7), isto é, lexicograficamente superior.

22. O valor de shpley e o nucléolo são idênticos, sendo (800; 650; 550), sendo a primeira componente o custo imputado á componente eléctrica, o segundo à componente de regularização dos caudais e o terceiro à componente de regadio.

23.

Distribuição de 600 milhões de €	Credor 1-100	Credor 2-200	Credor 3-300	Credor 4-400
Proporcional	60	120	180	240
Equitativa dos ganhos	100	166,6	166,7	166,7
Equitativa das perdas	0	100	200	300
Nucléolo	50	100	175	275
Shapley	58,3	125	175	241,7